連続複利計算

投資でも使える連続複利の計算

長期の金融商品のリターンとリスクを調べていると、

 

「連続複利」

 

 

という言葉に突き当たります。

 

 

この言葉を理解しておかないと、

 

投資について先には進めそうもないようなので、連続複利に付いて調べてみます。

 

 

連続複利とは、1秒の利息でも正確に計算できる計算方法のことです。

 

 

たとえば年利10%の定期預金に1日だけ預けたら利息はいくらになるのか?

 

1時間では? 1分では? 1秒ではいくらの利息になるのでしょう?

 

 

 

勿論、こんな短期間では実際に利息を払ってくれる銀行はありませんが、
連続複利を使用すると、こうした利息もきちんと計算することができるのです。

 

 

そこで実際に連続複利の計算をしてみたいと思います。

 

 

いきなり1秒の利息を計算するのには無理があるので、半年と3ヶ月の利息を求めてみたいと思います。

 

たとえば、年利10%の定期預金があったとします。10万円を1年間預けると利息は1万円になります。
では半年間預けた場合には利息はいくらになるでしょうか?

 

 

1年間預けた場合の利息は1万円。
半年預けた場合は、1年の半分なので利息は5,000円。
3ヶ月預けた場合は、1年の4分の1なので利息は2,500円・・・・

 

とても簡単なように思えますが、果たしてこれで良いのでしょうか?

 

 

半年預けて利息が5,000円付くのなら、半年で金利は5%になり、

 

10万円 × 105% = 105,000円

 

もう半年経てば、また5%の利息が付くので、

 

105,000円 × 105% = 110,250円

 

利息10,250円・・・・

年利は10%のはずなので、1年の利息は1万円でなければいけないのに、それを超えてしまいました。

 

半年を2回繰り返すことで、複利で増えてしまうので、このような結果になることは当然といえば当然です。

 

年利10%だからと言って、半年は半分なので単純に半分の5%を半年の金利だと考えるのは早計です。

 

 

では、実際の半年の金利はいくらになるのでしょう?

 

10万円 × (1 + 半歳の金利) × (1 + 半歳の金利) = 11万円

 

この式を計算して解けばいいのです。

 

 

10万円 × (1 + 半年の金利)^2 = 11万円
(1 + 半年の金利)^2 = 11万円 / 10万円
1 + 半年の金利 = √1.1
1 + 半年の金利 = 1.04880885
半年の金利 ≒ 4.880%

 

 

ということで、年利10%に等しい半年の金利は、4.880%という結果が計算により出ました。

 

1年の金利に直すと、2倍にして9.76%。年利9.76%の半年複利が、年利10%の単利に等しいということになります。

 

 

 

同様に3ヶ月を4回預けて、1年の金利が10%になるよう3ヶ月の金利を求めると、

 

10万円 × (1 + 3ヶ月の金利)^4 = 11万円
1 + 3ヶ月の金利 = 4√1.1
3ヶ月の金利 ≒ 2.411%

 

ということで、年利10%に等しい3ヶ月の金利は、2.411%という結果が計算により出ました。

 

1年の金利に直すと、4倍にして9.644%。年利9.76%の3ヶ月複利が、年利10%の単利に等しいということになります。

 

 

このように、どんどん細かい期間に対して、年利10%の単利と等しくなる金利を計算することができるのです。

 

 

ここまでの過程を式にしてみます。

 

年利10%の時に、3ヶ月複利で4回預けると、年利10%に等しくなる金利2.411%を先程求めましたので、これを式にします。

 

(1 + 2.411%)^4= (1+10%)

 

^4というのは3ヶ月が4回で1年の12ヶ月と等しくなるからです。この4をN回複利のNにかえます・

 

(1 + 2.411%)^N= (1+10%)

 

そして、2.411% × N を年利R とおくと、年利RのN回複利が、年利10%の単利に等しくなりますので、2.411% = R/Nと書くことができます。

 

 

(1 + R/N)^N = (1 + 10%)

 

元になる10%をrに置き換えると、

 

(1 + R/N)^N = (1 + r)

 

この式を展開すると、

 

(1 + R/N) =N√(1 + r)
(R/N) = (N√(1 + r) - 1
R = N ×((N√(1 + R)) - 1)

 

この式を使うことで、連続複利の計算をすることがかのうになります。

 

 

 

ここからは想像の世界です。

 

 

たとえば、N回の回数を365にすると、1日の金利Rが求められるはずで、

 

Nを365×24だと1時間の金利Rが、365×24×60にすると、1分の金利Nが求められるはずです。